La paradoja de los mellizos

Terminaba el post sobre la  dilatación temporal de Lorentz  indicando que comentaria la paradoja de los mellizos, pues vamos allá.

La transformación de Lorentz introduce una relación extraña entre el espacio y el tiempo, a estos efectos extraños se les denomina efectos relativistas. El primer efecto relativista es el comentado en la dilatación del tiempo, continuamos su discusión utilizando la paradoja de los mellizos, en qué consiste?.

Supongamos que tenemos dos mellizos a los que llamare Ivet y Jan. Viven en el siglo XXV y Jan decide probar su nave espacial que le han regalado sus padres por su 20 cumpleaños. Decide visitar la estrella más cercana al Sol, Alpha Centauri situada a 4 años luz de distancia, y lo hace a la velocidad de 0,8 c. Esto significa que viaja a 0,8 veces la velocidad de la luz, unos 240.000 km/s.

Recordemos que se suele representar a la velocidad de la luz con la letra c, entonces c = 300.000 km/s.

En el post anterior sobre relatividad veíamos que los intervalos de tiempo no sucedían al mismo ritmo en un sistema de referencia inercial estático (al que denominamos S) que en un sistema de referencia inercial en movimiento (al que denominamos S’). Para escribir las ecuaciones con mayor sencillez se escoge a t como el transcurso de los intervalos de tiempo en el sistema S y t’ al transcurso temporal en S’. A t se le denomina el tiempo propio del sistema de referencia y se acostumbra a denotar con la letra griega tau τ.

Antes de empezar el viaje Ivet y Jan sincronizan sus relojes, a partir de ahora, el tiempo t es el tiempo que miden los relojes en el sistema de Ivet y t’ el tiempo que miden los relojes en el sistema de Jan. Conociendo la transformación de Lorentz podemos establecer una relación entre el tiempo propio del sistema S respecto el tiempo propio del sistema S’ y viceversa.

t = \sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}\,} t'

 Bien, hasta aquí todo correcto, si nos creemos que esto funciona, porque tiene una repercusión importante. Jan realiza un viaje de ida y vuelta a la estrella Centauri mientras Ivet se queda en la Tierra. ¿Cuánto tiempo dura el viaje?, recordemos que Centauri se encuentra a 4 años luz de distancia y el viaje se realiza a la velocidad de 0,8c.

Aquí aparece el primer efecto relativista a tener en cuenta y es que la velocidad es relativa. La velocidad de la nave de Jan es de 0,8c medida respecto el sistema de referencia de la Tierra. Es decir, Ivet observa como su hermano gemelo se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,8c

¿Cuánto tiempo dura el viaje?, es una pregunta sencilla, pero hay que tener en cuenta el efecto relativista de que el tiempo es relativo también, depende del sistema de referencia en que realizamos la observación del reloj. Hacerse solamente la pregunta ¿Cuánto tiempo dura el viaje? No tiene sentido, tenemos que decir ¿Cuánto tiempo dura el viaje respecto del sistema Tierra? O decir ¿Cuánto tiempo dura el viaje de ida y vuelta para Ivet?. En este caso es sencillo de calcular

tiempo01

¿Cuánto tiempo dura el viaje de ida y vuelta para Jan?, recordemos que Jan realiza el viaje en el sistema de referencia móvil, por tanto se encuentra sometido a la dilatación temporal en un factor

tiempo02

Esto significa que el viaje para Jan ha durado

tiempo03

Recordemos que son hermanos mellizos y en el momento de iniciar el viaje los dos tenían 20 años. Ahora al finalizar el viaje, han pasado 10 años para Ivet y 6 años para Jan. En el momento del encuentro Ivet tiene 30 años y Jan 26 años. Jan es cuatro años más joven que Ivet. Cuidado esto no es ninguna paradoja, es el resultado de la dilatación temporal en sistemas inerciales móviles. Eso sí, puede resultar poco creíble, incluso difícil de aceptar este resultado. Puede pensar que la relatividad solo sucede en naves espaciales y en los confines del universo. Pues no, en la Tierra los efectos son medibles, eso sí, con instrumentos de mucha precisión.

En octubre de 1971 Hafele y Keating cogieron cuatro relojes atómicos de cesio y los colocaron a bordo de aviones comerciales dando la vuelta a la Tierra, unos  volaron en dirección este y otros en dirección oeste y finalmente los compararon con un reloj de referencia que se quedo en el laboratorio.

Los resultados concuerdan con la dilatación temporal, los relojes que volaron en los aviones marcaban un tiempo distinto, concordando bastante bien con la teoría de la relatividad. Recordemos que la dilatación temporal predice que los relojes en movimiento marcan un ritmo más lento respecto a otro reloj idéntico situado en un sistema de referencia fijo.

El reloj del laboratorio se encuentra en el sistema de referencia de la superficie de la Tierra, el reloj en un avión moviéndose hacia el Este se mueve en la dirección del movimiento de rotación de la Tierra, se mueve más rápido que el situado en Tierra. Mientras que el reloj en un avión moviéndose hacia el Oeste se mueve en dirección contraria y su velocidad es menor que el reloj situado en el laboratorio de la superficie terrestre. Según esto el reloj  que se mueve hacia el Este tiene que atrasar respecto el reloj de tierra y el reloj que se mueve hacia el Oeste tiene que adelantar respecto el reloj de tierra.

 Existen otros efectos debidos a la relatividad general que ahora es demasiado liado tener en cuenta, pero lo cierto es que efectivamente los resultados indican que los relojes han sufrido una variación temporal. El reloj hacia el Este atrasaba 59 nanosegundos y el reloj hacia el Oeste adelantaba 273 nanosegundos.

Entonces donde está la paradoja. La paradoja surge cuando consideramos el viaje espacial desde el punto de vista de Jan y desde el punto de vista de Ivet. Para Ivet esta claro que Jan se aleja de ella a la velocidad de 0,8c. ¿Pero que observa Jan?, situado en su sistema de referencia de la nave observa como Ivet se aleja junto con toda la Tierra a 0,8c en dirección contraria. Según el punto de vista de Jan, cuando se encuentran es Ivet la que tendría que ser más joven. A esto se le llama la paradoja, ¿Cuál de los hermanos es más joven?, la única solución compatible es que los dos tengan la misma edad y la dilatación temporal no sea más que un juego de niños. Seria cierto si el movimiento de Ivet y el de Jan fueran simétricos, pero no lo son. Veamos porque.

Para que los dos hermanos se junten y puedan volver a comparar sus relojes, Jan ha tenido que acelerar y desacelerar. Durante el tiempo de aceleración Jan no se encuentra en un sistema de referencia inercial, ha notado el movimiento. A notado como los cohetes de la nave se han encendido y apagado, se ha tenido que atar a una silla especial para no ser golpeado por las paredes del cohete, etc. Mientras que Ivet no ha notado el movimiento, se ha mantenido siempre en un sistema de referencia inercial.

La respuesta a la paradoja es que aquel que ha sentido la aceleración es el que ha envejecido menos. Aunque hemos hablado de relojes, el efecto también implica efectos biológicos. La biología sigue las mismas leyes de la física y de la química sometidas al principio de relatividad. Y no solamente la biología, sino todos los sucesos, Jan caminara más lentamente, leerá más lentamente, comerá más lentamente, todo en la nave se ralentiza. Jan no nota nada especial, todo en él es más lento, pero mientras siga moviéndose tiene más tiempo. Es cuando compara su reloj que aparece la diferencia temporal.  

Existe eso sí, un problema añadido que hay que tener muy en cuenta, ¿qué pasa con el tiempo durante la aceleración de la nave?. Durante los periodos de aceleración y desaceleración la velocidad de la nave cambia y el tiempo de viaje cambia, pero no altera el resultado de que existirá una dilatación temporal y cuando los hermanos se encuentren el que ha notado las aceleraciones será más joven.

Por supuesto, los viajes espaciales acelerados tienen que pensarse para no perjudicar a los astronautas. Las aceleraciones muy bruscas y potentes tienen graves efectos sobre los sistemas biológicos.

 

Acerca de Carles Paul

Licenciado en Ciencias Físicas por la Universidad de Barcelona, Master en Física y Matemática Aplicada por la Universidad Politécnica de Cataluña y Master en Historia de la Ciencia por la Universidad Autónoma de Barcelona. Técnico Experto Evaluador Europeo. Profesor titulado de física y matemáticas de la Politècnica de Mataró, des de 1991. Director Científico de Innovem.
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35 respuestas a La paradoja de los mellizos

  1. Andres o el vatito par a mis compas dijo:

    MUY EXELENTE! Algún día me gustaría llegar a ser como usted! HOMBRE DE CIENCIAS!

  2. Carles Paul dijo:

    Pues muy agradecido por su comentario, pero no olvide una frase de Einstein: ” La ciencia esta muy bien siempre y cuando uno no tenga que ganarse la vida con ella”.
    Por decirlo de otra manera, esto no da dinero.

    Recuerdos

  3. Mike dijo:

    First blog I read after wakeup from sleep today!

    ________________________
    Proven! How to cure Acne Naturally.Email to mike.wilson80@ymail.com for more information.

  4. alshain dijo:

    Carles, gracias por tu comentario en mi blog en el tema del orígen de la inercia. Te lo comento aquí porque mi blog lo tengo necesariamente una temporada sin actividad. Sí me interesaría el artículo que comentas, si puedes conseguirlo mándamelo por email a alschairn (arroba) yahoo.com.

    Saludos

  5. Carles Paul dijo:

    Hola alshain, he conseguido el articulo y uno mas. Pero la dirección del correo que me mandas no existe, supongo por que el verdadero nombre del correo es alshain. Ahi te lo mando, si no lo recibes me lo dices.

    Recuerdos

  6. alshain dijo:

    Gracias por tu interés Carles. ¿Estás seguro que la copiaste o escribiste bien? La dirección existe y es correcta: alschairn (a) yahoo.com. Si mandaste algo a la dirección de “alshain” entonces le ha llegado a otro, porque cuando cree mi cuenta ese nombre de usuario estaba ocupado… :-)

  7. Carles Paul dijo:

    Te lo he vuelto a enviar a la dirección que dices, seguramente cometi algun error.
    He esperado un poco y el sistema no me dice que haya errores por lo que supongo te llegara.
    Espero que te sirva de ayuda, a mi me resulta un poco liada la matematica tensorial de la relatividad general. Pero bueno, aun tengo tiempo.

    Recuerdos

  8. alshain dijo:

    Vale, ahora ha llegado, muchas gracias. Lo miraré y si saco algo en claro haré un resumen en mi blog.

  9. Abel Elías dijo:

    Muy buena explicación, soy un estudiante de 3er año de física, me gustaría saber como construir un interferómetro de Michelson-Morley, pues necesito dar una presentación referente a este tema, pero al buscar como hacerlo, hay muchos esquemas diferentes, quisiera saber
    *cual debe ser el tamaño de los brazos y si es mejor utilizar 2 o 16 espejos
    *como hacer para evitar la vibración
    *que tipo de laser debo utilizar
    Es que he intentado conseguir que ocurra la interferencia predicha (los circulos brillantes y oscuros) y a pesar de mucho esfuerzo no lo he logrado.
    Agradeceria mucho si pudiese tomar algo de su valioso tiempo y ayudarme en este tema.
    Abel M.

  10. Nico dijo:

    debe ser algo complicado mantener tu blog y esta pagina , deberias mover todo lo que publicaste en tu blog a estas pagina para tener todo en su sitio y como siempre ,tu explicas mucho mejor que varios libros que lei.

  11. Carles Paul dijo:

    Ahora veo que Abel escribio tambien en esta pàgina, repito la respuesta que le di en “preguntas con respuesta”, o mas bien lo que pude contestar.

    Apreciado Abel,

    Siento no poder ayudarte mucho, nunca he construido un interferómetro, aunque si realice el experimento en la carrera de física y costó bastante ver la interferencia. Entonces no se utilizaba un laser sino una luz de arco de mercurio, creo recordar.

    En todo caso te contesto lo que creo puede serte de ayuda. En primer lugar es importante que los dos brazos tengan la misma longitud y cuanto mayor sea esta mejor. Para aumentar la longitud se utilizan los espejos, pero es más delicado entonces conseguir que los dos brazos sean iguales. Por eso hay que utilizar un micrómetro para poder variar la posición de un espejo y conseguir la misma longitud en los dos brazos con la precisión adecuada para ver las franjas de interferencia. Lo más seguro es que si no las ves es que no has conseguido la misma longitud en los dos brazos con la precisión de micras que necesitas.

    De manera que si utilizas más espejos más longitud pero te será más difícil conseguir que los dos brazos sean iguales, por eso me decantaría más por dos espejos y encontrar el sistema de controlar mejor su posición.

    Respecto al laser, no te preocupes, un puntero laser te tiene que servir estupendamente.

    El tema de la vibración es delicado, pero una superficie lisa y pesada tiene que servirte, para ello lo mejor es un mármol o granito del tipo de las cocinas. Para ello cualquier marmolista te podrá facilitar alguna pieza que le sobre a buen precio. Por supuesto, tendrás que buscar una base estable y que pueda girar para colocar encima el interferómetro. Yo no me preocuparía mucho, cualquier base de vidrio de las que se usan para colocar debajo de los televisores tendría que servirte. Dijo de vidrio porque será más lisa pero puedes probar con otras.

    Entonces tendrás la base de granito o mármol, encima la base giratoria y encima el interferómetro. ¿Dónde colocar la base de granito? Ahí es donde tu imaginación y la disponibilidad de material que tengas tienen que jugar.

    Ya tendrás información pero te paso estos dos, el primero es de Pasco que son los que fabrican material para laboratorio y el otro es un interferómetro casero, muy casero para mi gusto pero con habilidad puede funcionar.

    http://alumnes.eupmt.cat/~paul/blogabcienciade/respostes/interferometro%20pasco.pdf

    http://alumnes.eupmt.cat/~paul/blogabcienciade/respostes/interferometer_9t12.pdf

    Podria mirar en Scientic American o Investigación y Ciència, hace años tenian un apartado de “Taller y Laboratorio” quiza en uno de ellos hablasen de como construir un interferometro, he encontrado una referencia del noviembre de 1956 pero no tengo archivos tan antiguos.

    Suerte

  12. Carles Paul dijo:

    Saludos Nico,
    la verdad es que a medida que aumenta el tamaño del blog se me va haciendo más dificil el mantenimiento de los diferentes apartados y no se muy bien como solucinarlo.Por eso puse la “pàgina de preguntas con respuesta”, pero tampoco funciona muy bien.
    Si lo paso todo a esta pàgina entonces sera muy grande y poco manejable, ademas ire sacando mas articulos sobre este tema.Supongo que el truco esta en ser ordenado y colocar las categorias y etiquetas cada vez que se genera un artículo, intento hacerlo aunque a veces se me olvida.

    Y ademas teniendo otro blog sobre audiovisuales que tambien necesita su tiempo.

    Gràcias por la sugerencia, la verdad es que cuando me meti en esto del blog no creia que fuera tan liado.

  13. Nicolás dijo:

    Hola, muy interesante los temas que se tratan. Yo una vez participé en la construcción de un irterferómetro de Michelson-Morley, hace mucho tiempo, y una cosa importante es que el espejo debe ser de simple faz. Se puede hacer con un metal muy pulido.

    Nicolás de Argentina.

  14. Pingback: La paradoja de los mellizos

  15. bianca dijo:

    Buenas, he estado leyendo el artículo y se me ha ocurrido una pregunta:

    ¿Esta paradoja explicaría por qué cuando voy de viaje a un sitio me da la sensación de que el tiempo me pasa siempre más rápido a la vuelta que a la ida?

    Gracias

  16. Pingback: La paradoja de los mellizos | Ultimas noticias en ForoProvincias.Com

  17. Macnolo dijo:

    Bianka, la respuesta a tu pregunta es que el cerebro consume menos energía de esta manera.
    Esto lo explicaban en un episodio de Redes, sobre qué es el tiempo, que te recomiendo que veas entero.
    http://www.redesparalaciencia.com/123/redes/redes-20-que-es-el-tiempo-22-minutos
    La respuesta concreta a tu pregunta esta a partir del minuto 16 y 26 segundos.

    Por cierto, el artículo genial. No conocía esta página, pero me parece que me voy a pasar muy a menudo por aquí.
    ¡Saludos!

  18. Killo dijo:

    toesto son xorradas primo i sin tanto royo me sako mis talegos pala piba, los tripis la moto i si no lo mango primo i nose como e benio a parar aki de pura xorra primo

  19. tonibitt dijo:

    muchisimas gracias,hace tiempo discutia yo con mi hermano sobre este tema y creo que con este ariculo lo llegara a entender.gracias

  20. hellmann dijo:

    Hay una frase que no me queda nada clara.

    ¿Cuánto tiempo dura el viaje de ida y vuelta para Jan?, recordemos que Jan realiza el viaje en el sistema de referencia móvil, por tanto se encuentra sometido a la dilatación temporal en un factor

    ¿Por qué el sistema de referencia de Jan es el móvil y no el del hermano? ¿Hay sistemas de referencia privilegiados?

  21. Pingback: La paradoja de los mellizos (meneame) | BlogUniverso

  22. Carles Paul dijo:

    Apreciado Hellmann,
    tienes razón, los sistemas son simetricos, Jan observa que Ivette se aleja de él i Ivette observa que Jan se aleja de ella. Entonces cual se mueve?, la solución no esta en la velocidad sino en la aceleración.
    El sistema de Jan tiene que acelerar para coger velocidad, tienen que desacelerar para frenar y volver a acelerar para regresar, por decirlo ràpido. Entonces el que nota la fuerza de la aceleracion (f = ma) es el que se mueve.
    Todo lo dicho en el este artículo hay que reacerlo considerando la aceleración, tenia y tengo el proposito de acerlo, pero las obligacinoes diarias y los temas de actualidad me van reteniendo.

    Saludos

  23. Cheyo pimienta dijo:

    Excelente artículo, como complemento estaría bien poner la anécdota esa del hombre ruso que tiene el récord guiness de viaje en el futuro…

  24. Bianca dijo:

    Muchas gracias, Macnolo.
    Ahora mismo lo vere

  25. Antonio dijo:

    Acabo de ver la página gracias a menéame, gran artículo, desde hoy tienes un lector asiduo más. Voy a leer algunos artículos pasados jeje.

  26. Carles Paul dijo:

    Apreciado Antonio, pues este es de los antiguos, tiene ya un año. Espero que encuentres interesante la lectura. Aunque pretendo seguir algun orden, la actualidad o comentarios de los lectores y alumnos siempre terminan por romper este orden.

    Saludos afectuosos

  27. ciclerepairman dijo:

    aunque el killo no lo haya entendido, es un gran artículo

    salud!

  28. Pietrus dijo:

    Excelente articulo, muy inteligible y bien explicado

    Saludos

  29. Pingback: ¿Subir escaleras envejece? « abcienciade

  30. Miguel Ángel Serrano dijo:

    Cuando yo estudié física relativista se explicaba que la paradoja de los mellizos no es tal paradoja sino una exposición mal planteda de un problema, cual es el de la dilatación temporal. Esto es, los conceptos de tiempo propio y de tiempo impropio.
    De hecho mi libro de texto de teoría de relatividad especial o restringida hablaba de intervalo de tiempo entre dos sucesos como intervalo de tiempo propio e intervalo de tiempo impropio, identificándolos como aquél en que te basta un reloj para medirlo (propio) y aquél en el que necesitas dos relojes para poder hacerlo (impropio). Por ejemplo, para medir el tiempo que tarda un móvil en ir de A a B, necesitas un reloj en A y otro en B ambos sincronizados y mirar qué marca el de A al paso del móvil, qué el de B y calcular el tiempo transcurrido, a diferencia de un observador que vaya dentro del móvil, que mide con su reloj el tiempo transcurrido desde que pasa por A hasta pasar por B. El primero es “impropio” y el segundo “propio” y la relación entre ambos es la raíz de 1 menos (v/c)2
    El caso es que ninguno de los dos mellizos necesita más de un reloj para medir el tiempo que tarda desde que sale de A (la Tierra) hasta que vuelve a A (la Tierra de nuevo), ergo los dos miden un tiempo propio, o sea, miden el mismo tiempo.
    Por otro lado es absurdo pensar que subido a una nave espacial puedes hacer que tu hermano envejezca más rápido que tú. Interesante conjetura, pero bastante absurda y más propia de recursos artístico-literarios de la ciencia ficción que de la ciencia.
    Recomendación: Capítulo 3 del libro “Introducción a la Relatividad Especial” de James H. Smith
    Mi profesor de Física decía que había licenciados en física que defendían que la paradoja de los mellizos era una paradoja (o sea, un punto débil) de la Teoría de la relatividad. Nosotros, pobres estudiantes de segundo de Ingeniería Naval allá por el 78, no dábamos crédito…

  31. dannb dijo:

    que me recomiendas leer o acerca de que me recomendarías informarme o estudiar para tener conocimientos acerca de estos temas?

  32. dannb dijo:

    por cierto me encanto tu blog va a mis marcadores favoritos jaja

  33. Carles Paul dijo:

    Apreciado dannb. Para aprender sobre relatividad o en general sobre física te recomiendo los libros de Paul Typler. He añadido una página de Libros y empiezo por el que te recomiendo para aprender seriosamente sobre relatividad. Se trata del volumen 3 de la colección Typler-Mosca, suena raro pero es así.

    Saludos

  34. beto dijo:

    Carles,
    Excelente articulo, en realidad vi la pelicula de Interestelar y me dio curiosadad avreiguar acerca del tema y su enfoque. Estuve leyendo varias explicaciones y sinceramente es muy confuso. Segun la dilatacion en el tiempo el que viaja al espacio envejece menos que el se queda en la tierra, pero de igual forma producto de la dilatación del tiempo gravitatoria, el que esta sometido a la gravedad envejece menos que el que se aleja.

    Mi duda, por lo que veo todo tiene que ver la aceleracion realtiva entre el que se aleja en la nave ye el que se queda en la tierra, por ejemplo si este viajara a una acelaracion constante de 9.81m/sg2. enevejeceria igual que el de la tierra?

  35. Carles Paul dijo:

    Apreciado beto, antes que nada hay que tener en cuenta que el que envejece más lento es el que se mueve a la velocidad v y durante muchísimo tiempo. El efecto de la gravedad en la Tierra es muy pequeño, podríamos decir que despreciable respecto al viaje de su hermano. Otra cosa seria que la gravedad en la Tierra fuese enorme, es decir, que la Tierra fuese un agujero negro, entonces la cosa cambiaría…es lo que sucede en Interestelar…el tirón gravitatorio del agujero negro es enorme…pero no lo tienen en cuenta en la película, de aquí la confusión.
    Si Joseph Cooper fuese un astronauta real, el tirón gravitatorio del agujero negro lo rompería en millones de pedazos…al igual que el planeta que no podría existir tal como se muestra en pantalla.

    Respecto a la aceleración, tienes una confusión,…la aceleración gravitatoria de la Tierra no nos produce ningún efecto sobre la velocidad, en cambio en una nave espacial que acelerara constantemente a 9.81 m/s2 aumentaría su velocidad constantemente acercándose, al cabo del tiempo, a la velocidad de la luz.

    Todo tienen que ver respecto la VELOCIDAD RELATIVA, este es el contexto de la Relatividad Especial…cuando incorporamos la ACELERACIÓN estamos en el dominio de la Relatividad General y ahí…las cosas son diferentes. Un pequeño detalle en física clásica, para que veas la diferencia. Cuando un objeto se mueve a velocidad constante respecto quien sea, significa que sobre él no actúa ninguna fuerza neta. En cambio si esta acelerado significa que actúa alguna fuerza sobre él. Observa que es una pequeña diferencia, la aparición de fuerzas o no…pero esa pequeña diferencia es esencial para entender el contexto entre relatividad especial y relatividad general. Eisntein se dio cuenta immediatamente del problema de la aceleración y por eso no tuvo más remedio que “inventar” la Relatividad General.

    En relatividad general la aceleración esta relacionada con un campo gravitatório y por tanto con la masa y por tanto con la inercia…y aquí la cosa se complica.

    Bueno, no ser si te he aclarado o complicado.

    Saludos

    Carles

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