Contracción de Lorentz

Con este post sobre la contracción de Lorentz o de longitudes termina esta introducción a la teoría de la relatividad que he ido haciendo en el blog abcienciade. Veremos cómo se relaciona con la dilatación del tiempo y la paradoja de los gemelos. Referencias: relatividad, contracción, longitud, Einstein, Lorentz

contrac-longitud1 

En la dilatación temporal de Lorentz explicaba cómo se transformaba el tiempo cuando era observado en distintos sistemas de referencia. Veamos ahora como se transforma el espacio. Tratemos de entender pues como se relacionan los sistemas de referencia S(x,y,z,t) y S'(x’,y’,z’,t’). Para una mejor comprensión supongamos que el sistema S es el sistema de Ivet, en color azul y el S’ el de Jan, en color rojo.

Utilizaremos la longitud de una barra rígida para efectuar mediciones del espacio. Consideramos que esta barra se encuentra a lo largo del eje x y en reposo en el sistema de referencia S (Ivet), en color azul en la imagen inicial. Al estar en reposo en S, las medidas de posición se hacen al mismo tiempo y podemos medir la longitud de la barra mediante la posición de sus extremos x1 y x2. Llamaremos L0 a esta longitud que vendra dada por

contr013

A esta medida de la longitud de la barra la denominaremos longitud en reposo o longitud propia de la barra. Siempre que medimos la longitud en el sistema donde se encuentra en reposo la denominaremos longitud propia.

De igual manera podemos disponer de otra barra rígida idéntica a la anterior situada en el sistema S’ (Jan) a lo largo del eje x’ y en reposo en este sistema. La longitud de la barra medida por Jan será

 contr02

y es la longitud en reposo o longitud propia de la barra para Jan (S’).

¿Pero qué ocurre cuando Jan quiere medir la barra de Ivet o Ivet quiere medir la barra de Jan? Es decir, que miden las longitudes de estas barras vistas desde un sistema de referencia móvil. No olvidemos que para Ivet, Jan se mueve a velocidad v y para Jan Ivet se mueve a velocidad -v.

Ahora tenemos que incluir el tiempo en que se efectúa la medida. La longitud de la barra vista desde Jan (S’) se mide en un tiempo t’, es importante tener en cuenta que el tiempo de la medida es el mismo en x’1 que en x’2. Es fácil entenderlo, Jan coge un regla y mide la barra fijándose al mismo tiempo en la posición inicial y final, la diferencia es la longitud medida en S’. Ivet hará lo mismo para la barra situada en S.

Bien, ¿cómo mide Jan la barra de Ivet?. El resultado de la medida nos lo proporciona la transformación de Lorentz.

contr03

Simplificamos la notación con las siguientes abreviaturas 

contr04contr051

La transformación de Lorentz para la posición de los extremos de la barra de Ivet observados por Jan, es

contr061

Hemos quedado que la medida de la longitud es la diferencia entre la posición de sus extremos, entonces

contr07

Pero para Jan la medida de la longitud de su barra se realiza en el mismo tiempo, esto es

contr08

Obtenemos el siguiente resultado

 contr09

 Es decir

contr10

Puesto que el término de la raíz es menor que 1, obtenemos que la medida en el sistema móvil da una longitud más corta que en el sistema estacionario. Jan observa la barra de Ivet más corta.

¿Como observara Ivet la barra de Jan?, recordemos que para Ivet Jan se mueve a velocidad -v. El procedimiento es el mismo que el efectuado para Jan pero ahora el tiempo t es el mismo para la observación de x1 y x2.

contr11

Restando los terminos anteriores, obtenemos

contr12

 y teniendo en cuenta que la medida en el sistema S se hace al mismo tiempo, obtenemos

contr17

La medida de la barra móvil da de nuevo una longitud más corta que la medida de la barra estacionaria.

  • Ejemplo numérico

Supongamos que Jan se mueve a la velocidad de 240.000 km/s, esto es 0,8 veces la velocidad de la luz, escribimos 0,8c. Si la barra medida para Ivet es de 1 metro, entonces

contr13

Nos preguntamos, ¿Pero la barra se ha contraído realmente?. La respuesta es No, la distancia entre los átomos de la barra es la misma, la barra no ha experimentado ningún efecto físico extraordinario. Pero los resultados físicos para Jan actúan como si realmente tuviese la longitud de 0,6 m. Aquí tendríamos una discusión sobre que es la realidad. Lo dejo para otro día.

Simplemente la medida en el sistema móvil ha dado un resultado diferente. ¿Cuál es la explicación? Muy sencillo, la explicación está en el tiempo. En el sistema estacionario (Ivet) medimos los extremos de la barra al mismo tiempo, es lo que denominamos sucesos simultáneos, ocurren al mismo tiempo. Pero en el sistema móvil (Jan) el procedimiento de medir los extremos de la barra de Ivet no sucede al mismo tiempo. Lo que son sucesos simultáneos para Ivet no lo son para Jan.

Los efectos de la contracción de longitudes son consecuencia de la simultaneidad de la relatividad, lo explicare en otro post, volvamos ahora al efecto de la contracción utilizando la paradoja de los gemelos del post anterior.

  •  Ejemplo de la paradoja de los mellizos

Según el post anterior Jan viaja a la estrella Alpha Centauri situada a 4 años luz de la Tierra en una nave espacial a la velocidad de 0,8c. Pues bien, la distancia de 4 a.l. esta medida desde la Tierra, en el sistema de Ivet. Para Jan la distancia entre la Tierra y Alpha Centauri es menor, calculemos que distancia tiene que recorrer Jan en el trajecto de ida.

contr14

Calculemos el tiempo que tardara Jan en ir i volver en el sistema de Ivet y en el sistema de Jan.

Para Ivet Jan viaja a la velocidad de 0,8c y tiene que recorrer en el trajecto de ida y vuelta 8 años luz. De manera que el tiempo del viaje para Ivet será

 contr15

Para Jan la distancia total a recorrer son 4,8 a.l, entonces el tiempo para Jan será

contr16

Que son los resultados obtenidos a partir de la dilatación del tiempo.

Viajando a la velocidad de la luz la distancia hacia cualquier parte se hace cero. El tiempo no transcurre. Un foton que sale del centro del Galaxia llega hasta nosotros en un instante de tiempo según el foton, pero para nosotros han pasado 26.000 años.

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Acerca de Carles Paul

Licenciado en Ciencias Físicas por la Universidad de Barcelona, Máster en Física y Matemática Aplicada por la Universidad Politècnica de Cataluña y Máster en Historia de la Ciéncia por la Universidad Autónoma de Barcelona. Profesor titulado de la Universidad Politècnica de Mataró, Investigador del CERpIE y Eurostars Technical Expert.
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6 respuestas a Contracción de Lorentz

  1. Anónimo dijo:

    guau me interesa demaciado, voy a estudiar eso.

  2. Naomi dijo:

    Tengo una pregunta. Al restar X2 – X1 en el primer caso (donde V es positivo), ¿es posible que te sale y(x’2 – x’1) + yv(t’1 – t’2)? y no y(x’2 – x’1) + yv(t’2 – t’1)

    Hizo los cálculos y a mi me sale eso. No sé si habré hecho mal algo o no.

  3. Naomi dijo:

    Ai, ya he visto mi fallo. v es negativo en el primer caso.

  4. martin jaramillo dijo:

    La velocidad de la luz ya no es constante ni en el vacío.

    Si quieres conocer la demostración geométrica, solicítala a: martinjaramilloperez@gmail.com

  5. Anónimo dijo:

    gracias, esta muy bien explicado.

  6. Pingback: La teoría de la relatividad I | laquintaesenciadelcarbono

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