Con este post sobre la contracción de Lorentz o de longitudes termina esta introducción a la teoría de la relatividad que he ido haciendo en el blog abcienciade. Veremos cómo se relaciona con la dilatación del tiempo y la paradoja de los gemelos. Referencias: relatividad, contracción, longitud, Einstein, Lorentz
En la dilatación temporal de Lorentz explicaba cómo se transformaba el tiempo cuando era observado en distintos sistemas de referencia. Veamos ahora como se transforma el espacio. Tratemos de entender pues como se relacionan los sistemas de referencia S(x,y,z,t) y S'(x’,y’,z’,t’). Para una mejor comprensión supongamos que el sistema S es el sistema de Ivet, en color azul y el S’ el de Jan, en color rojo.
Utilizaremos la longitud de una barra rígida para efectuar mediciones del espacio. Consideramos que esta barra se encuentra a lo largo del eje x y en reposo en el sistema de referencia S (Ivet), en color azul en la imagen inicial. Al estar en reposo en S, las medidas de posición se hacen al mismo tiempo y podemos medir la longitud de la barra mediante la posición de sus extremos x1 y x2. Llamaremos L0 a esta longitud que vendra dada por
A esta medida de la longitud de la barra la denominaremos longitud en reposo o longitud propia de la barra. Siempre que medimos la longitud en el sistema donde se encuentra en reposo la denominaremos longitud propia.
De igual manera podemos disponer de otra barra rígida idéntica a la anterior situada en el sistema S’ (Jan) a lo largo del eje x’ y en reposo en este sistema. La longitud de la barra medida por Jan será
y es la longitud en reposo o longitud propia de la barra para Jan (S’).
¿Pero qué ocurre cuando Jan quiere medir la barra de Ivet o Ivet quiere medir la barra de Jan? Es decir, que miden las longitudes de estas barras vistas desde un sistema de referencia móvil. No olvidemos que para Ivet, Jan se mueve a velocidad v y para Jan Ivet se mueve a velocidad -v.
Ahora tenemos que incluir el tiempo en que se efectúa la medida. La longitud de la barra vista desde Jan (S’) se mide en un tiempo t’, es importante tener en cuenta que el tiempo de la medida es el mismo en x’1 que en x’2. Es fácil entenderlo, Jan coge un regla y mide la barra fijándose al mismo tiempo en la posición inicial y final, la diferencia es la longitud medida en S’. Ivet hará lo mismo para la barra situada en S.
Bien, ¿cómo mide Jan la barra de Ivet?. El resultado de la medida nos lo proporciona la transformación de Lorentz.
Simplificamos la notación con las siguientes abreviaturas
La transformación de Lorentz para la posición de los extremos de la barra de Ivet observados por Jan, es
Hemos quedado que la medida de la longitud es la diferencia entre la posición de sus extremos, entonces
Pero para Jan la medida de la longitud de su barra se realiza en el mismo tiempo, esto es
Obtenemos el siguiente resultado
Es decir
Puesto que el término de la raíz es menor que 1, obtenemos que la medida en el sistema móvil da una longitud más corta que en el sistema estacionario. Jan observa la barra de Ivet más corta.
¿Como observara Ivet la barra de Jan?, recordemos que para Ivet Jan se mueve a velocidad -v. El procedimiento es el mismo que el efectuado para Jan pero ahora el tiempo t es el mismo para la observación de x1 y x2.
Restando los terminos anteriores, obtenemos
y teniendo en cuenta que la medida en el sistema S se hace al mismo tiempo, obtenemos
La medida de la barra móvil da de nuevo una longitud más corta que la medida de la barra estacionaria.
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Ejemplo numérico
Supongamos que Jan se mueve a la velocidad de 240.000 km/s, esto es 0,8 veces la velocidad de la luz, escribimos 0,8c. Si la barra medida para Ivet es de 1 metro, entonces
Nos preguntamos, ¿Pero la barra se ha contraído realmente?. La respuesta es No, la distancia entre los átomos de la barra es la misma, la barra no ha experimentado ningún efecto físico extraordinario. Pero los resultados físicos para Jan actúan como si realmente tuviese la longitud de 0,6 m. Aquí tendríamos una discusión sobre que es la realidad. Lo dejo para otro día.
Simplemente la medida en el sistema móvil ha dado un resultado diferente. ¿Cuál es la explicación? Muy sencillo, la explicación está en el tiempo. En el sistema estacionario (Ivet) medimos los extremos de la barra al mismo tiempo, es lo que denominamos sucesos simultáneos, ocurren al mismo tiempo. Pero en el sistema móvil (Jan) el procedimiento de medir los extremos de la barra de Ivet no sucede al mismo tiempo. Lo que son sucesos simultáneos para Ivet no lo son para Jan.
Los efectos de la contracción de longitudes son consecuencia de la simultaneidad de la relatividad, lo explicare en otro post, volvamos ahora al efecto de la contracción utilizando la paradoja de los gemelos del post anterior.
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Ejemplo de la paradoja de los mellizos
Según el post anterior Jan viaja a la estrella Alpha Centauri situada a 4 años luz de la Tierra en una nave espacial a la velocidad de 0,8c. Pues bien, la distancia de 4 a.l. esta medida desde la Tierra, en el sistema de Ivet. Para Jan la distancia entre la Tierra y Alpha Centauri es menor, calculemos que distancia tiene que recorrer Jan en el trajecto de ida.
Calculemos el tiempo que tardara Jan en ir i volver en el sistema de Ivet y en el sistema de Jan.
Para Ivet Jan viaja a la velocidad de 0,8c y tiene que recorrer en el trajecto de ida y vuelta 8 años luz. De manera que el tiempo del viaje para Ivet será
Para Jan la distancia total a recorrer son 4,8 a.l, entonces el tiempo para Jan será
Que son los resultados obtenidos a partir de la dilatación del tiempo.
Viajando a la velocidad de la luz la distancia hacia cualquier parte se hace cero. El tiempo no transcurre. Un foton que sale del centro del Galaxia llega hasta nosotros en un instante de tiempo según el foton, pero para nosotros han pasado 26.000 años.
abcienciade 
guau me interesa demaciado, voy a estudiar eso.
Tengo una pregunta. Al restar X2 – X1 en el primer caso (donde V es positivo), ¿es posible que te sale y(x’2 – x’1) + yv(t’1 – t’2)? y no y(x’2 – x’1) + yv(t’2 – t’1)
Hizo los cálculos y a mi me sale eso. No sé si habré hecho mal algo o no.
Ai, ya he visto mi fallo. v es negativo en el primer caso.
La velocidad de la luz ya no es constante ni en el vacío.
Si quieres conocer la demostración geométrica, solicítala a: martinjaramilloperez@gmail.com
gracias, esta muy bien explicado.
Acaso no era (0.8^2)/c^2
Hola Jhonny, es un post viejo y tardo en verlo…fijate que la velocidad es 0.8c…es decir 0.8 veces la velocidad de la luz….asi que el cálculo es (0.8c)^2/c^2 desaparece el c^2 y solo queda el 0.8^2.
No me sirvió no dice como sacar la velocidad
Lorentz contraction
Plane waves of light (wavelength is constant) are coming from the upper right (at a 45 degree angle). A bar (horizontal) is moving at various speed to the right. The number of waves that hits the front end and the rear end of the bar (per unit time) is the same always. So, the number of waves existing between both ends is invariable. Lorentz contraction is unthinkable.《P.S.》 A moving bar is accompanied by an observer. To this observer, length of the bar is not contracted. However, the number of waves existing between both ends is invariant. To every observer, it is the same.《P.S.》Light is a standard of the length.《P.S.》Relativity of simultaneity is a false, I believe.
Sorry, I cannot receive E-mail. I do not have PC.
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/2561/eng.html
Supongamos que Jan al llegar a Alpha Centauri detiene su reloj que marca 3 años, para y una vez en reposo mide la distancia a la Tierra. ¿Qué distancia mediría?
a) 2,4 años luz , entonces v= 0,8c
b) Como está en reposo respecto de Ivet, debe medir 4 años luz, luego v=1,33c
Hola Jose, fijate que hay que aplicar la relatividad del espacio-tiempo y tener en cuenta la simultaneidad de los sucesos. La medida de la distancia depende del tiempo y la medida del tiempo depende de la distancia. Si mide la distancia en reposo en el sistema de referencia de Alpha Centauri no puede utilizar la medida del tiempo realizado en otro sistema en movimiento respecto este…que es el de la nave.
Por eso en la paradoja de los mellizos se realiza la comparación del tiempo cuando vuelven a encontrarse en un mismo espacio-tiempo.
Al menos lo veo así jo.
Saludos
Hola. Entonces, la contracción longitudinal no es algo real? la nave, no se contraería longitudinalmente, ¿verdad?
Hola Gaston, efectivamente la contracción no es algo «real», tal como dices. Pero hay que matizar que es «real». La realidad no es absoluta, cada observador o sistema de referencia vive y experimente en su realidad. Esto significa que un astronauta dentro de la nave no experimente ninguna contracción de la nave, pero un observador exterior mide una longitud distinta de la nave. Esta es la «realidad de la relatividad», cada sistema de referencia experimenta una realidad y esto trae consecuencias físicas.
Muchas gracias por su respuesta. Me ha quedado bien claro. Un lujo.