Velocidad de escape y agujeros negros

La velocidad de escape es la velocidad mínima que tiene que adquirir un objeto para escapar de la atracción gravitatoria de un planeta o cualquier otro astro. Se puede calcular fácilmente a partir de la conservación de la energía cinética y potencial.
Imaginemos el caso de un objeto que quiere salir de la Tierra disparado desde su superficie mediante un cañón muy potente. A la salida del cañón el objeto tendrá una velocidad y por tanto energía cinética. Energía que obliga al objeto a alejarse de la Tierra. Pero hay que tener en cuenta la energía gravitatoria que obliga al objeto a caer hacia la Tierra. Tenemos pues dos tipos de energía, la cinética y la gravitatoria. La cinética que tiende a impulsar el objeto hacia el infinito y la gravitatoria que tiende a hacerlo caer al suelo.

En la situación de equilibrio de estas dos energías obtendremos la velocidad mínima a partir de la cual el objeto saldrá de la influencia gravitatoria Terrestre y se alejara hacia el espacio exterior.

Donde G es la constante de gravitación universal de valor 6,67×10^11 Nm^2kg^-2. Observemos que la velocidad de escape es independiente de la masa del objeto, de manera que cada planeta, satélite o estrella tendrá un velocidad de escape característica. Cuidado pero, para acelerar el objeto hasta conseguir la velocidad de escape habrá que aplicar una fuerza y esta si depende de la masa del objeto.

La Tierra tiene una masa de 5,97×10^24 kg y un radio de 6,38×10^6 m, de manera que la velocidad de escape para la Tierra es de

que es igual a 40221 km/h.

Para la Luna la velocidad de escape será

que son unos 8550 km/h.
Para el Sol

Que son unos 890 km/s o 3.204.000 km/h. Esto significa que para lanzar una nave espacial fuera del Sistema Solar tiene que alcanzar esta velocidad. Por supuesto no la consigue inmediatamente, sino acelerando poco a poco a lo largo de mucho tiempo.

Aparte de las naves espaciales hay otros objetos sujetos al equilibrio energético entre la energía cinética y la gravitatoria, son las moléculas de los gases que forman las atmósferas planetarias.

Las moléculas adquieren velocidad a partir de la temperatura T, a mayor temperatura mayor velocidad. En el fondo la temperatura es una medida de la velocidad media de las moléculas o átomos. No confundir la temperatura con la medida de energía de un cuerpo, es decir, la temperatura no es el calor. La energía asociada a una molécula diatómica (formada por dos átomos del mismo elemento) se mide a partir de la siguiente fórmula

Donde k es la constante de Boltzman y de valor 1,3807×10^-23 J/K (Julios partido Kelvin). ¿Qué velocidad alcanzara una molécula para una determinada temperatura?. La respuesta la obtendremos volviendo a plantear el equilibrio energético, esta vez entre la energía asociada a la temperatura y la energía cinética.

Hay que vigilar con la masa de la molécula, por definición es el peso molecular expresado en gramos pero contenido en un mol de substancia. Y en un mol tenemos 6,0225×10^23 moléculas (es el número de Avogadro), de manera que para calcular la velocidad media de una molécula tenemos que dividir por el número de Avogadro.

Por ejemplo, calculamos la velocidad térmica de una molécula de oxigeno en la atmósfera terrestre. Suponemos una temperatura global de 20ºC, cero grados centígrados son 273,16 Kelvin, aproximamos a 273, de manera que 20ºC son 293 K. Una molécula de oxigeno está formada por dos átomos de oxigeno y cada uno tiene un peso atómico de 16 g, la molécula diatómica será el doble, es decir, 32 g, teniendo esto en cuenta el cálculo será

Para el hidrógeno obtenemos una velocidad de

Observamos que la velocidad media es mucho menor que la velocidad de escape y podríamos suponer que ningún gas de la atmósfera terrestre puede escapar de la atracción gravitatoria. Pero esto no es cierto, la velocidad calculada anteriormente es una velocidad media, esto significa que habrá moléculas con velocidad menor y otras con velocidad mayor. Algunas de las moléculas que se encuentren en las capas superiores de la atmósfera alcanzaran velocidades superiores a la de escape y abandonaran la atmósfera. Mayormente las moléculas ligeras como el hidrógeno y el helio. Por esto en nuestra atmósfera estos gases son escasos.
En la Luna la velocidad de escape es mucho menor y la temperatura media es de unos 373 K de día, dando lugar a una velocidad térmica media para el oxigeno de 540 m/s. La consecuencia es la pérdida casi total de la atmósfera a lo largo del tiempo.

Para finalizar, ¿Que sucedería si la velocidad de escape de un astro fuera la velocidad de la luz?. La respuesta es que este astro se convertiría en un agujero negro. La fuerza de la gravedad es tan intensa que ni la luz puede escapar, si no puede salir luz, no podemos verlo y nos aparece completamente negro. Además según la teoría de la relatividad la velocidad de la luz es la velocidad máxima que puede existir, de manera que nada puede salir de un agujero negro.

Hay matices sobre este asunto, pero no vamos a complicarlo ahora. Hago un estudio clásico pero concuerda con el estudio relativista. ¿Qué relación habrá entre la masa y el radio de un agujero negro?, el cálculo es el balance energético entre la energía cinética y la gravitatoria, pero ahora colocando la velocidad de la luz.

Este radio se conoce como el radio de Schwarzschild, introduciendo los valores numéricos de G y c obtenemos la relación entre el radio en metros y la masa de un agujero negro en kilogramos.

Para la masa del Sol obtenemos un valor de 2960 m, es decir, si pudiésemos comprimir el Sol hasta un radio de 2,96 km se convertiría en un agujero negro. Para la Tierra el radio de Schwarzschild es de 0,00886 m o 8,86 milímetros. Esto significa que si toda la masa de la Tierra se comprimiese hasta estas dimensiones se convertiría en un agujero negro.

Muy brevemente: la vida de las estrellas se debe al balance energético entre la energía gravitatoria que tiende a colapsar la estrella hacia su centro y la energía de radiación que tiende a expandirla hacia fuera. Cuando se agota el combustible de fusión termonuclear desaparece la energía de radiación y solo queda la energía gravitatoria que hace implosionar (explotar hacia dentro) a la estrella. Si la masa de la estrella es muy grande no existe ninguna fuerza capaz de frenar esta implosión y se convierte en un agujero negro.
Nuestro Sol, por suerte, no es muy grande y no se convertirá en un agujero negro.

Acerca de Carles Paul

Licenciado en Ciencias Físicas por la Universidad de Barcelona, Master en Física y Matemática Aplicada por la Universidad Politécnica de Cataluña y Master en Historia de la Ciencia por la Universidad Autónoma de Barcelona. Técnico Experto Evaluador Europeo. Profesor titulado de física y matemáticas de la Politècnica de Mataró, des de 1991. Director Científico de Innovem.
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15 respuestas a Velocidad de escape y agujeros negros

  1. NATHANIEL dijo:

    A los guenos días desde los madriles.
    me ha hecho mucha gracia, que buscando unas formulas físicas para hacer la fisica del juego de rallys que estoy diseñando, me haya salido como tercera entrada tu blog.

    ale ale un saludo
    un abraxo fuerte
    y un beso aun mas fuerte
    y aprobecha la playita que tu la tienes al lado, mientras yo la hecho de menos :–(

  2. Carles Paul dijo:

    Y pensar que en informática quitaron la asignatura de Física, para luego tener que buscar las formulas por internet,…

    Pues el sabado me voy una semana a Paris y otra semana a la Bretaña, espero darme algun remojon en las playas francesas.

    Recuerdos

  3. mindchild dijo:

    a fecha de hoy han salido publicadas las fotos de la cena…
    http://dalpescatore.blogspot.com

  4. JCarlos dijo:

    Hola,me gustaría que me dijeras porqué si la velocidad es constante y la dirección perpendicular a la tierra no es posible salir del planeta con una velocidad inferior a la de escape.
    Un saludo y gracias

  5. Carles Paul dijo:

    Saludos jcarlos;
    La respuesta es: porque la velocidad no es constante.
    La velocidad de escape es la VELOCIDAD INICIAL a la que se tiene que lanzar un objeto desde la superficie de la Tierra para escapar de la influencia del campo gravitatorio terrestre.

    Por ejemplo, si lanzamos una piedra hacia arriba desde la superficie terrestre, vemos que sube un par de metros y vuelve a caer. A medida que sube va perdiendo velocidad hasta un punto en que su velocidad es cero y entonces empieza a caer acelerándose hacia el suelo y aumentado la velocidad. Caerá al suelo con la misma velocidad que se lanzó (no tengo en cuenta el rozamiento con la atmosfera).

    ¿Qué pasaría si pudiésemos lanzar la piedra a una VELOCIDAD INICIAL de 40221 km/h? Es importante recordar que la velocidad de escape de 40221 km/h solamente la tiene la piedra en el momento de lanzarla hacia arriba. Una vez lanzada, la piedra empieza a perder velocidad porque la fuerza de la gravedad de la Tierra la tira hacia abajo. Pero la definición de VELOCIDAD INICIAL de escape es aquella velocidad suficientemente grande que hace que la piedra adquiera la velocidad cero en el infinito. Por decirlo de otra manera, la fuerza de la gravedad va frenando la piedra pero es incapaz de frenarla del todo.

    Es decir, por las condiciones de la velocidad inicial de escape y la fuerza de la gravedad, la energía cinética de la piedra iguala a la energía potencial terrestre en el infinito. Es una manera de decir que la piedra se ha lanzado fuera de la influencia gravitatoria terrestre y por tanto ha abandonado a la Tierra.
    El problema es simétrico, si desde el infinito una piedra con velocidad inicial cero empieza a acelerarse hacia la Tierra por influencia del campo gravitatorio terrestre, impactara en la Tierra a la velocidad de escape de 40221 km/h.

    Entonces, ¿Cómo se lanzan las naves espaciales que van a otros planetas?. Es imposible alcanzar la velocidad de escape en la superficie de la Tierra. Pero a medida que subimos esta velocidad disminuye, ya que disminuye la fuerza de gravedad. Los cohetes empiezan con velocidad cero, pero van acelerándose (consumiendo mucho combustible) hasta alcanzar una velocidad suficientemente grande para entrar en órbita. A la altura de esta órbita la velocidad de escape es menor y entonces se puede lanzar una sonda interplanetaria que empieza a acelerar (gastando combustible) y alejarse de la Tierra hasta alcanzar la velocidad de escape a la altura prefijada por la misión.

    Espero que te haya aclarado la duda.

  6. JCarlos dijo:

    Antes de nada, muchas gracias por haber contestado tan rápido y de manera tan clara.
    Creo que ya lo entiendo.
    Yo pensaba que la velocidad de escape era una velocidad constante de 40221km/h pero al decirme que es una velocidad inicial ya caí en la cuenta.
    La velocidad de escape es una v.inicial en un movimiento decelerado pero si el movimiento es constante por ejemplo si tiene una propulsión autónoma suficiente, podría salir de un planeta aunque no llegase a esa velocidad.
    Un saludo.

  7. Carles Paul dijo:

    Bien, creo que la duda que tenias te ha quedado clara. Pero respecto a lo que dices al final “si tiene una propulsión autónoma suficiente, podría salir de un planeta aunque no llegase a esa velocidad”, me parece que tengo que comentarte una aclaración.

    Un cohete con una propulsión suficiente ira subiendo, es decir, se alejará más de la superficie de la Tierra. Recuerda que la velocidad de escape es la velocidad inicial necesaria para salir desde la superficie de la Tierra.
    A medida que el cohete se aleja de la superficie esta velocidad inicial de escape va disminuyendo (la fuerza de la gravedad disminuye con la altura). El movimiento del cohete no es constante, va acelerando, aumentando la velocidad. Y fijate que la velocidad de escape va disminuyendo.
    Es posible de esta manera llegar a una altura donde la velocidad del cohete sea la velocidad de escape a esta altura.

    Por supuesto, el lanzamiento de cohetes no es tan sencillo como esto. Hay que colocar el cohete en orbita, efectuar un cambio de orbita para el lanzamiento adecuado de la sonda espacial, etc..

    Pero en definitiva, es la tecnologia que hay que utilizar para conseguir la velocidad de escape. Si se quiere salir del sistema solar se utiliza la fuerza de la gravedad de Jupiter (o saturno, neptuno). En este caso la sonda roba energia potencial del plantea para ganar energia cinética, siempre que pase a la velocidad adecuada y a la altura adecuada del planeta. Es lo que se acostumbra a llamar “la carambola cósmica”.

    Ya ves que se puede complicar bastante.

    Espero que no te haya confundido más.

    Un saludo.

  8. Anonymous dijo:

    Por una carambola cósmica he llegado a este foro. Solo quiero felicitaros por lo interesante de los temas que en el se debaten, ojala hubiera muchos foros como este.
    Balles.
    Un Saludo

  9. Carles Paul dijo:

    Grácias por tu amable felicitación. No es fácil exponer en pocas palabras un tema científico y sobretodo sin saber a quien va dirigido. Intento, aunque no lo parezca, mantener un hilo conductor a lo largo de los diversos posts.
    Esto me cuesta algunas horas nocturnas, pero esta felicitación al igual que las preguntas y sugerencias que me hacen me dice que vale la pena.

    Gràcias

  10. Anonymous dijo:

    Gracias por hacer un blog como este. Me ha resuelto muchas dudas^^

  11. Carles Paul dijo:

    Pues precisamente uno de los motivos de hacer este blog es resolver las dudas científicas que puedan surgir. El esfuerzo realizado ha valido la pena si te ha servido de ayuda.

    Recuerdos

  12. Pingback: La Tierra en la Navidad de 1968 « abcienciade

  13. carlos dijo:

    yo digo q los agujeros negros son fantacias

  14. Anónimo dijo:

    ayudenme por favor con la solucion de este ejercicio
    Cierto tipo de cohete es capaz de alcanzar la velocidad de escape (11Km/s), después de recorrer 200 Km. Esta velocidad es la necesaria para vencer la gravedad. Suponiendo que tiene una aceleración uniforme, hallar el valor numérico de dicha aceleración, si consideramos que parte del reposo. Gracias

  15. Carles Paul dijo:

    Muy facil. Hay que utilizar la siguiente ecuación. V^2-Vi^2=2aX. Donde V es la felocidad final (11 km/s) Vi es la velocidad inicial (0km/s), a es la aceleración y X la distancia (200Km). Aislando la aceleración obtenemos: a =V^2/(2X) = 11^2/(2·200)=121/400=0,3025 km/s^2.
    En metros son 302,5 m/s^2, que corresponde a 30,8 veces la acelerción de la gravedad, esperemos que al ingeniero que ha diseñado este cohete no se le ocurra poner astronautas.
    Saludos

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