Velocidad de escape y agujeros negros

La velocidad de escape es la velocidad mínima que tiene que adquirir un objeto para escapar de la atracción gravitatoria de un planeta o cualquier otro astro. Se puede calcular fácilmente a partir de la conservación de la energía cinética y potencial.
Imaginemos el caso de un objeto que quiere salir de la Tierra disparado desde su superficie mediante un cañón muy potente. A la salida del cañón el objeto tendrá una velocidad y por tanto energía cinética. Energía que obliga al objeto a alejarse de la Tierra. Pero hay que tener en cuenta la energía gravitatoria que obliga al objeto a caer hacia la Tierra. Tenemos pues dos tipos de energía, la cinética y la gravitatoria. La cinética que tiende a impulsar el objeto hacia el infinito y la gravitatoria que tiende a hacerlo caer al suelo.

En la situación de equilibrio de estas dos energías obtendremos la velocidad mínima a partir de la cual el objeto saldrá de la influencia gravitatoria Terrestre y se alejara hacia el espacio exterior.

Donde G es la constante de gravitación universal de valor 6,67×10^11 Nm^2kg^-2. Observemos que la velocidad de escape es independiente de la masa del objeto, de manera que cada planeta, satélite o estrella tendrá un velocidad de escape característica. Cuidado pero, para acelerar el objeto hasta conseguir la velocidad de escape habrá que aplicar una fuerza y esta si depende de la masa del objeto.

La Tierra tiene una masa de 5,97×10^24 kg y un radio de 6,38×10^6 m, de manera que la velocidad de escape para la Tierra es de

que es igual a 40221 km/h.

Para la Luna la velocidad de escape será

que son unos 8550 km/h.

Para el Sol

Que son unos 890 km/s o 3.204.000 km/h. Esto significa que para lanzar una nave espacial fuera del Sistema Solar tiene que alcanzar esta velocidad. Por supuesto no la consigue inmediatamente, sino acelerando poco a poco a lo largo de mucho tiempo.

Aparte de las naves espaciales hay otros objetos sujetos al equilibrio energético entre la energía cinética y la gravitatoria, son las moléculas de los gases que forman las atmósferas planetarias.

Las moléculas adquieren velocidad a partir de la temperatura T, a mayor temperatura mayor velocidad. En el fondo la temperatura es una medida de la velocidad media de las moléculas o átomos. No confundir la temperatura con la medida de energía de un cuerpo, es decir, la temperatura no es el calor. La energía asociada a una molécula diatómica (formada por dos átomos del mismo elemento) se mide a partir de la siguiente fórmula

Donde k es la constante de Boltzman y de valor 1,3807×10^-23 J/K (Julios partido Kelvin). ¿Qué velocidad alcanzara una molécula para una determinada temperatura?. La respuesta la obtendremos volviendo a plantear el equilibrio energético, esta vez entre la energía asociada a la temperatura y la energía cinética.

Hay que vigilar con la masa de la molécula, por definición es el peso molecular expresado en gramos pero contenido en un mol de substancia. Y en un mol tenemos 6,0225×10^23 moléculas (es el número de Avogadro), de manera que para calcular la velocidad media de una molécula tenemos que dividir por el número de Avogadro.

Por ejemplo, calculamos la velocidad térmica de una molécula de oxigeno en la atmósfera terrestre. Suponemos una temperatura global de 20ºC, cero grados centígrados son 273,16 Kelvin, aproximamos a 273, de manera que 20ºC son 293 K. Una molécula de oxigeno está formada por dos átomos de oxigeno y cada uno tiene un peso atómico de 16 g, la molécula diatómica será el doble, es decir, 32 g, teniendo esto en cuenta el cálculo será

Para el hidrógeno obtenemos una velocidad de

Observamos que la velocidad media es mucho menor que la velocidad de escape y podríamos suponer que ningún gas de la atmósfera terrestre puede escapar de la atracción gravitatoria. Pero esto no es cierto, la velocidad calculada anteriormente es una velocidad media, esto significa que habrá moléculas con velocidad menor y otras con velocidad mayor. Algunas de las moléculas que se encuentren en las capas superiores de la atmósfera alcanzaran velocidades superiores a la de escape y abandonaran la atmósfera. Mayormente las moléculas ligeras como el hidrógeno y el helio. Por esto en nuestra atmósfera estos gases son escasos.
En la Luna la velocidad de escape es mucho menor y la temperatura media es de unos 373 K de día, dando lugar a una velocidad térmica media para el oxigeno de 540 m/s. La consecuencia es la pérdida casi total de la atmósfera a lo largo del tiempo.

Para finalizar, ¿Que sucedería si la velocidad de escape de un astro fuera la velocidad de la luz?. La respuesta es que este astro se convertiría en un agujero negro. La fuerza de la gravedad es tan intensa que ni la luz puede escapar, si no puede salir luz, no podemos verlo y nos aparece completamente negro. Además según la teoría de la relatividad la velocidad de la luz es la velocidad máxima que puede existir, de manera que nada puede salir de un agujero negro.

Hay matices sobre este asunto, pero no vamos a complicarlo ahora. Hago un estudio clásico pero concuerda con el estudio relativista. ¿Qué relación habrá entre la masa y el radio de un agujero negro?, el cálculo es el balance energético entre la energía cinética y la gravitatoria, pero ahora colocando la velocidad de la luz.

Este radio se conoce como el radio de Schwarzschild, introduciendo los valores numéricos de G y c obtenemos la relación entre el radio en metros y la masa de un agujero negro en kilogramos.

Para la masa del Sol obtenemos un valor de 2960 m, es decir, si pudiésemos comprimir el Sol hasta un radio de 2,96 km se convertiría en un agujero negro. Para la Tierra el radio de Schwarzschild es de 0,00886 m o 8,86 milímetros. Esto significa que si toda la masa de la Tierra se comprimiese hasta estas dimensiones se convertiría en un agujero negro.

Muy brevemente: la vida de las estrellas se debe al balance energético entre la energía gravitatoria que tiende a colapsar la estrella hacia su centro y la energía de radiación que tiende a expandirla hacia fuera. Cuando se agota el combustible de fusión termonuclear desaparece la energía de radiación y solo queda la energía gravitatoria que hace implosionar (explotar hacia dentro) a la estrella. Si la masa de la estrella es muy grande no existe ninguna fuerza capaz de frenar esta implosión y se convierte en un agujero negro.
Nuestro Sol, por suerte, no es muy grande y no se convertirá en un agujero negro.